Ortalama on yıl ilkin, Japonya İleri Bilim ve Teknoloji Enstitüsü’nde (JAIST) şu anda matematikçi olarak vazife icra eden Tonan Kamata, bir matematik müzesinde sergilenen origami benzeri bir düzenlemenin önünde hayranlıkla durmuş bekliyordu. Bu sergi, minik menteşelerle birbirine bağlanmış dört parçadan oluşan üçgen bir karoyu içeriyordu. Rahat bir döndürme hareketiyle bu parçalar, üçgen şeklini alarak bir kareye dönüşebiliyordu.
Bu serginin esin kaynağı, 1902 senesinde bir gazetede piyasaya sürülen matematiksel bir bulmacaydı. Kendi kendini yetiştirmiş İngiliz matematikçi ve bulmaca yazarı Henry Dudeney, okuyucularından bir eşkenar üçgeni minimum sayıda parça kullanarak bir kareye dönüştürmesini istemişti. İki hafta sonraki yazısında Dudeney, “Manchester’dan Bay C. W. McElroy”un -ki bu şahıs, Dudeney’e sık sık bulmaca çözümleri gönderen yazman Charles William McElroy’du- dört parçalı bir çözüm bulduğunu belirtti. İki hafta daha geçtikten sonrasında Dudeney, gazetenin öteki okuyucularından hiçbirinin bu çözümü bulamadığını duyurdu ve o zamandan beri bu üstün dereceli kırılamadı. Sadece daha azca parçayla bir çözümün olup olmadığı hemen hemen kanıtlanamamıştı.
Bulmaca, “Dudeney’in diseksiyonu” yada “tuhafiyecinin problemi” olarak bilinir hale geldi ve hatta Scientific American dergisinin Haziran 1958 sayısında yer aldı. Matematikçi ve derginin uzun soluklu köşe yazarı Martin Gardner, bu bilmece hakkında yazılar yazdı.
Şimdi, ilk ortaya atılmasının üstünden 122 yıldan fazla bir süre geçtikten sonrasında, Kamata ve öteki iki matematikçi sonunda daha azca parçalı bir çözümün mümkün olmadığını kanıtladı. Elde ettikleri bu netice, Aralık 2024’te arXiv.org sunucusunda “Dudeney’s Dissection Is Optimal” başlığıyla piyasaya sürülen bir ön baskıda duyuruldu.
Kamata, “Matematiğe kıymet veren birçok kişinin, çözülmemiş bir sorun ne kadar rahat görünürse görünsün, matematik tutkunlarını o denli derinden etkileyeceği mevzusunda aynı fikir olacağına inanıyorum” şeklinde konuştu.
Massachusetts Teknoloji Enstitüsü’nden matematikçi Erik Demaine ve JAIST’tan matematikçi Ryuhei Uehara ile beraber çalışan Kamata, çizge teorisini kullanarak origami katlama sorunlarını çözmek için yeni bir yaklaşım geliştiriyordu. Çizge teorisinde bir çizge, temelde çizgiler (kenarlar) ve bu kenarların birleştiği noktalar (köşeler) topluluğudur. Bir grafiğin kenarları ve köşeleri, iki yapı arasındaki daha derin ilişkileri idrak etmek için birbiriyle karşılaştırılabilir. Kamata, bu yaklaşımın Dudeney’in diseksiyonunu çözmede destek olabileceğini düşünüyordu.
Problemin bir kısmı aslına bakarsak oldukça basitti: İki parçalı bir çözüm, probleminin temel kısıtlamaları düşünüldüğünde kolayca elenebilirdi. Ilk olarak, parçalar aynı olduğundan üçgen ve kare eşit alanlara haiz olmalıydı. Bir kare için mümkün olan en uzun kesim köşegen süresince olur. Sadece rahat bir kağıt kalem hesabı, köşegenin uzunluğunun eşit alana haiz bir üçgenin kenarı için oldukça kısa bulunduğunu gösteriyor ve bu da iki parçalı bir çözümü olanaksız kılıyor.
Sadece üç parçalı bir çözümün olmadığını kanıtlamak oldukça daha zordu ve bu, yüzyıllık gecikmenin temel nedeniydi. Demaine, üç parçalı rahat bir bulmaca olmasına karşın, üçgeni kesmenin sonsuz sayıda yolu bulunduğunu belirtiyor ve ekliyor: “Bu parçaların her birinin tadı olarak oldukça sayıda kenarı olabilir ve bu kesimlerin koordinatları rastgele noktalardan başlayabilir. Oldukça sayıda ve sonsuz sayıda ihtimaller içinde seçeneğin olduğu bu devamlı parametreler, işi sinir bozucu derecede zorlaştırıyor. Bunu bir bilgisayarla kaba kuvvet yöntemiyle çözemezsiniz.“
Bu probleminin üstesinden gelmek için ekip, eşkenar bir üçgenin ihtimaller içinde kesitlerini, kesitlerin üçgenin kenarlarını iyi mi kestiğine gore sınıflandırdı. Araştırmacılar ilk olarak üçgeni kesmenin sonsuz sayıda yolunu beş değişik benzersiz kategoriye ayırdı. Sonrasında aynı işlemi bir kare için tekrarladı ve 38 değişik sınıflandırma buldu.
Arkasından araştırmacılar, her bir şekildeki tüm ihtimaller içinde yolları inceleyerek ve ortaya çıkan kenar uzunlukları ile açıları karşılaştırarak üçgen bir grafiği kare bir grafikle eşleştirmeye çalıştı. Eğer karelerden birinin yolu üçgeninkiyle eşleşirse, bu araştırmacıların üç parçalı bir çözüm bulmuş olduğu anlamına gelecekti.
Bu yaklaşım, devamlı bir problemi neredeyse ayrık bir probleme dönüştürdü. Demaine, her bir sınıflandırma içinde “tüm bu köşelerin gidebileceği sonsuz sayıda yer var” diyor. Sonunda ekip, kategorilerle beraber hiçbir eşleşen yol bulamadıklarını göstermek için çelişki yöntemiyle kanıt kullanan bir teoremdeki ara adımlar yada karmaşık lemmalar (matematikte ve öteki alanlarda daha büyük bir ifadeyi kanıtlamak için kullanılan, minik ve kanıtlanmış bir önerme) topluluğu geliştirdi.
Onlarca senedir bu bulmacayla ilgilenen ve mevcut çalışmaya dahil olmayan Smith College’dan bilgisayar bilimcisi Joseph O’Rourke, grubun kanıtının muhtemelen basitleştirilebileceğini düşünüyor. O’Rourke, tüm olasılıkları elemek için son aşama spesifik lemmalardan oluşan dağınık bir koleksiyon icap ettiğini belirterek, “Öteki birçok araştırmacı pes ederdi” ifadesini kullanıyor.
Daha da önemlisi, eğer yazarlar kanıtlarını basitleştirebilirlerse, bu eşleştirme diyagramları tekniği, origami benzeri bir takım çözülmemiş suali çözebilir.
Son olarak Kamata şunları söylüyor, “Bu problemler bizlere hemen hemen keşfedilecek ne kadar oldukça şey bulunduğunu hatırlatıyor. Hepimiz bu sınırda bir öncü olabilir.“
Kaynak: Scientific American / Yapıt Şahin tarafınca Türkçeleştirildi